力矩平衡
在高考中我们研究物体的受力平衡，可以把物体看成质点，只研究物体的平动。但是当我们研究刚体的平衡时，除了满足受力平衡，还需要满足力矩平衡。
初中我们就学习过杠杆原理，
其中力臂是从支点到作用线的距离，利用矢量的运算，我们可以定义力矩
(资料图片仅供参考)
满足杠杆原理，其实就是满足力矩平衡，动力与阻力我们可以用力矩的方向来区分。我们将选取的转动中心称为矩心。
平衡方程
由以上讨论，物体的平衡方程有两组
对于空间力系，上式对应6个分量方程：
对于平面力系，则对应3个分量方程：
例1.如图所示，一根长为l的杆靠在高为d的矮墙上，杆的质量为m，杆与地面间的摩擦因数足够大（可以保证杆与地面的接触点A处不滑动），杆与矮墙间的摩擦因数为.已知A点与矮墙的距离为a，试求：
（1）杆与地面间的夹角的最小值是多少？（2）最小时，墙对杆的支持力为多少？
作受力分析如图，需要注意的是，由于杆在ABCD平面上滑动，C点所受支持力垂直平面，摩擦力平行于平面。
分别以DA和过A点且垂直ABCD平面的直线为转轴，作受力分析平面图：
这里需要注意一下，不同视角的线段长度是不一样的。代入几何关系：
解得
故
解得
代入临界值，得此时
①要使结果有意义，一方面杆不能从墙上掉下，即，化简得
另一方面，根号下非负，即
②当时，此时杆在任意位置均可以平衡，取最小值时，棒的端点恰好搁在墙上：
对应支持力
由上例可见，空间的刚体平衡问题还是比较复杂的，需要较好的空间想象力。大部分情况下，我们研究的还是平面情况。
平面力系
1.物体平衡时，矩心（转轴）的选取是任意的。
比如物体受力对A点合力矩为零，A点到第i个力作用点的位置矢量用表示，我们选取另一矩心B，B点到第i个力作用点的位置矢量用表示，令.
则
其中表示以A点为矩心的力矩。受力平衡时，
故
等效
即在写力矩平衡方程时，矩心的选取不影响最终结果。由此，我们可以选择无需计算的力的作用点，或者几个力的作用线交点为矩心，来减少方程的未知数个数，从而简化运算。
2.力矩平衡方程可以代替受力平衡方程。
在写平衡方程时，我们可以分别以A、B为矩心写2个力矩平衡方程，再加上一个受力平衡方程。令，有
上式中，由2个力矩平衡方程，前两项为0，则第三项也为0：
此时再加一个受力平衡方程，由可以推得
但是要求，否则
恒成立。同理，我们也可以分别以A、B、C为矩心，写3个力矩平衡方程，令
同上可得
该方程能解得唯一解
的要求是与不共线，即3个矩心不共线。
例2.如图，半径分别为和的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，通过细绳对大圆柱施以水平拉力P.设所有接触处的静摩擦因数均为.为使在力P的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问的最小值是多少？
画出受力分析图：
对1，分别选、F、B为矩心，得
对2，分别选、E为矩心，得
上述方程组化简得
由于，只要C处不滑动即可，即求的最大值，也就是的最大值。
由图可知，初始时刻最大，此时
其中f_1和N_1的比值也可以由下一节的共点力平衡直接得到。
共点力平衡
在力矩平衡方程中，物体一共受到n个力，如果其中n-1个作用力交于同一点O，选O点为矩心时，有
由于
二者作差得
故一定也过O点。
特殊的，当物体只受3个力，三力不平行时，一定交于同一点。当2个力作用点相同时，我们可以将两个力等效为一个力，而不影响力矩。比如同一点的支持力和摩擦力，可以等效为全反力。
由此，2个受力平衡方程我们可以用力的闭合矢量图来代替，1个力矩平衡方程可以用三力交于同一点来代替。用几何视角解决力学问题，往往比较快捷。
例3.如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数.
作受力分析图如图，其中已经将摩擦力和支持力等效为全反力，则三力交于同一点。
要求摩擦系数的最小值，即求的最大值。设杆长为l，找到和的关系：
化简得
故
例4.如图，一架均匀梯子AB，质量为M，长AB=10m，靠在光滑墙壁上，A、B两端到墙角O的距离分别为AO=8m、BO=6m，已知梯子与水平地面间的静摩擦因数为.试回答下列问题：（1）地面对梯子的作用力为多大？（2）一个质量为5M的人沿此梯子向上爬，他最多能沿梯子上升多远而不致使梯子倾倒？
对人和杆整体作受力分析，这里人的重力和杆的重力平行，可以将2者等效为一个重力G'，等效作用点在O，人的中心为，杆的中心为.
恰好滑动时
由几何关系
又
故人爬的最大高度
练习
练1.有一轻木板，其自重可忽略不计，长度为l，A端用绞链固定在竖直墙面上，另一端用水平绳拉住，板上依次放着三个圆柱体，其半径均为r，重力均为G，如图所示.木板与墙面的夹角为，一切摩擦均忽略不计，求水平绳对板的拉力为多大？
答案：
练2.如图所示，每侧梯长为l的折梯置于铅垂平面内，已知A，B两处动摩擦因数分别为，，A、B间的距离也为l，不计梯重，求人能爬多高H而梯不滑倒。
答案：
